近日，现代物理研究所何院耀教授与合作者利用有限温限制路径量子蒙特卡洛算法，对空穴掺杂的二维Hubbard模型进行数值模拟，澄清了该模型中自旋和电荷条纹序随温度的演化行为以及二者之间的竞争合作关系，并首次得到了电荷条纹序存在有限温相变的证据，对于理解高温超导体材料中的条纹相具有重要意义。研究成果以“Temperature Dependence of Spin and Charge Orders in the Doped Two-Dimensional Hubbard Model”为题，发表在物理学期刊Physical Review X上。

铜基高温超体是超导材料中的一个族类，也是人们在常压环境下发现的可以在液氮温度(77K)以上实现超导电性的代表性材料。自1986年被实验发现以来，铜基高温超导体经过了大量的实验和理论研究，目前仍然在其高温超导机制、赝能隙现象和奇异金属的本质、条纹相与超导的关系等基础问题上存在重大争议。在凝聚态物理中，对这些基础问题的研究，其重要性不亚于寻找和开发室温超导材料。另一方面，铜基高温超材料具有晶体结构上的共性——铜-氧平面，且其主要物理性质均由该平面上的铜和氧原子的电子所贡献；在这类材料中铜原子的3d轨道电子组态通常为d9，即3d轨道只有一个轨道没有被电子占满。基于这些特征，在理论研究中，如果只考虑铜-氧面上的铜原子上的电子，可以用正方晶格上的单能带Hubbard模型作为研究铜基高温超体的近似模型。因此，二维Hubbard模型的理论研究对于理解铜基高温超材料中的重大基础问题具有非常重要的意义。

铜基高温超导体是典型的强关联电子材料，其主要特征为电荷、自旋和电子配对等多种自由度或序参量的合作和竞争。在空穴掺杂情形下，该体系在超导转变温度以上会出现条纹相——在铜-氧面上自旋磁矩和电荷(空穴)排列成周期性条纹状的电子态[Nature (London)375, 561 (1995)]，其条纹周期与空穴掺杂浓度直接相关。在理论研究方面，对空穴掺杂的二维Hubbard模型的早期研究中，均发现其基态可能存在长程自旋和电荷条纹序。2017年，Bo-Xiao Zheng等人[Science358, 1155 (2017)]利用四种不同的多体数值计算方法(限制路径量子蒙特卡洛，密度矩阵重整化群，密度矩阵嵌入理论，无限投影纠缠配对态)，通过交叉对比研究，确认了1/8-空穴掺杂的二维Hubbard模型( U⁄t=8)的基态存在周期等于8的长程自旋和电荷条纹序。此后，由于缺乏有效的数值方法，对于二维Hubbard模型中条纹序的有限温性质的理论研究进展缓慢。

2019年，何院耀与合作者结合辅助场量子蒙特卡洛算法的最新发展，进一步将有限温限制路径量子蒙特卡洛算法[PRL83, 2777 (1999)]发展成为大规模并行、数值稳定、可研究大尺寸系统和低温物理性质的高效算法[PRB99, 045108 (2019), Editors’ Suggestion]；并发展了自洽更新试探哈密顿量的新方法，从而极大地提升了该算法的计算精度，并初步研究了1/8-空穴掺杂的二维Hubbard模型中的自旋条纹序。

之后，何院耀研究团队开始专注研究空穴掺杂的二维Hubbard模型(只包含最近邻跃迁项)中自旋和电荷条纹序随温度的演化行为。首先，研究团队进一步在上述有限温算法中发展了计算动力学关联函数的方法，使其可以计算自旋和电荷磁化率、自能以及单粒子和两粒子谱学性质等重要物理性质。随后，结合在周期边界体系中计算关联函数和磁化率、开放边界体系中计算条纹序参量等技术，详细研究了不同空穴掺杂浓度情况下的自旋和电荷条纹序随着温度下降，并过渡到基态长程条纹序的演化过程[PRX13, 011007 (2023)]。这项工作澄清了空穴掺杂的二维Hubbard模型中自旋条纹序随温度的演化行为、自旋和电荷条纹序的竞争合作机制：在降温过程中，清晰地观察到体系从高温的短程反铁磁关联态，演化出π-相位磁畴——自旋条纹序开始形成的关键性证据(并给出了相应的自旋条纹序的起始温度[onset temperature])，然后条纹序对应的关联长度增大，并逐渐过渡到基态的长程条纹序(图1)；电荷条纹序的起始温度总是比自旋条纹序的低很多——即电荷条纹序的出现是由自旋条纹序的关联效应导致的。此外，通过在开放边界体系中引入自旋和电荷的钉扎场(pinning field)，研究团队直接计算了电荷条纹序的序参量(图2)，首次得到了该模型中电荷条纹序存在有限温相变的理论/数值证据。这项研究工作中模拟的最大系统尺寸为32×8和64×4，最低温度为βt=50。

目前，实验物理学家已经可以利用超冷原子，在光晶格中实现二维Hubbard模型并测量其基本物理性质，如自旋、电荷密度关联函数等。上述数值研究工作，不仅可以为光晶格实验研究提供重要指引(如条纹序的起始温度、电荷条纹序的热力学相变等)，也可以为后续的理论和数值计算研究提供重要对比依据。这项研究中发现的电荷条纹序的热力学相变，也与实验研究中在多数铜基高温超导体更容易观测到电荷密度条纹相的结果一致。此外，关于该热力学相变的性质(是一级相变相变还是二级相变、临界性质等)、次近邻跃迁项对条纹序的影响是这项研究工作中尚未解决的重要问题，目前何院耀教授研究团队正在围绕这些问题进行攻关。

何院耀为这项研究工作的共同通讯作者，研究团队成员还包括美国Flatiron研究所计算量子物理研究中心(CCQ)的Bo Xiao(肖博)博士、Shiwei Zhang(张世伟)教授和Antoine Georges教授。该工作得到了国家自然科学基金委“彭桓武高能基础理论中心”项目、美国西蒙斯基金会Flatiron研究所高性能超算平台的支持。

图1

图2

原文链接：

https://journals.aps.org/prx/abstract/10.1103/PhysRevX.13.011007